lunedì 2 aprile 2018

Come fanno i computer a calcolare le radici quadrate? — Parte 1: calcolo manuale

“La risposta breve è: le calcolano come faremmo noi per calcolarle a mano”.

“Ah, certo, tutti calcolano radici a mano”.

“La mia professoressa delle medie mi insegnò a farlo, sai?”.

“Anche la mia, ma se devo dire che mi ricordo come si fa, direi una bugia”.

“Sì, il procedimento non è per niente intuitivo, soprattutto in una parte. Ma partiamo dall'inizio: la descrizione completa dell'algoritmo l'ha scritta .mau. un po' di tempo fa, ed è spiegata qua”.

“Oh, bene, bene, ora me la guardo. No, decisamente non mi ricordavo tutto. Anzi, posso dire che mi ricordavo solo che si dovevano raggruppare le cifre del numero a due a due”.

“Sì, quello è il punto di partenza. Vogliamo provare a calcolare una radice quadrata a mano, in modo da sottolineare i punti importanti del procedimento?”.

“Ok, andiamo”.

“Allora, proviamo a calcolare la radice di 7654. Scriviamo il numero raggruppando le cifre a due a due”.

“E quindi formiamo due gruppetti”.

“Sì, e scriviamo in questo modo il tutto:”.

76.54 | 
      |-------
      |

“Ok, ora che succede?”.

“Ora si prendono le prime due cifre e si dà per scontato che la radice del numero composto solo da quelle due cifre la sappiamo calcolare”.

“Io non so quanto valga esattamente la radice di 76, però”.

“Sei in buona compagnia: nessuno lo sa. Ma non ci serve una precisione infinita, perché lavoriamo solo sui numeri interi: per calcolare la radice di 76 ti serve soltanto conoscere le tabelline”.

“Ah, allora posso dire che 8 è troppo poco e 9 è troppo”.

“Approssimiamo per difetto”.

“Allora dico che la radice di 76 è 8”.

“Benissimo, il primo passo è fatto, scriviamo 8 come prima cifra”.

76.54 | 8
      |-------
      |

“Fin qua è stato facile”.

“Ora correggiamo l'errore: calcoliamo il vero quadrato di 8…”.

“Che è 64”.

“Lo scriviamo sotto al 76, e facciamo la differenza, in modo da trovare il resto”.

76.54 | 8
64    |-------
--    |
12    |


“Bene. Adesso? Non ricordo più come si va avanti”.

“Adesso c'è la parte magica del procedimento, ma prima di raccontarla vediamo quello che abbiamo fatto finora. In sostanza abbiamo capito che 76 = 82 + 12”.

“D'accordo”.

“Ma 76 è stato estratto dal numero 7654 prendendo le prime due cifre, e quindi quello che abbiamo fatto in realtà è stato capire che 7600 = 82 × 102 + 1200”.

“Va bene, hai moltiplicato tutto per cento”.

“Sì, in questo modo abbiamo calcolato la radice di 7600, con il suo resto. Però volevamo calcolare la radice di 7654, che è un po' più grande”.

“Ci basterà correggere il resto: 7654 = 82 × 102 + 1254”.

“Ah, certo, ma così il resto diventa un po' troppo grande: non possiamo fare di meglio?”.

“Non saprei. Cioè, immagino di sì, ma non so mica come”.

“Quell'80 è un po' troppo basso, se lo aumentiamo un pochino magari riusciamo a diminuire il resto”.

“Vero, se prendo ad esempio 81 mi viene che 7654 = 812 + 1093”.

“Va già meglio, ma hai scelto 81 a caso. Magari con 82 può andare meglio, o forse con 83, o chissà”.

“E come faccio?”.

“Prova a fare una stima: invece di usare 80, tu vuoi usare 80 + t”.

“E quanto vale t?”.

“Ancora non lo sai: è quello che vuoi stimare. Prova a scrivere 7654 come quadrato di 80 + t. Anzi, per maggiore generalità scrivi 8 × 10 + t”.

“Va bene: 7654 = (8 × 10 + t)2. E adesso?”.

“Adesso svolgi il quadrato di binomio, lasciando indicati tutti i calcoli”.

“Oh, vediamo: quadrato del primo termine, doppio prodotto, quadrato del secondo… Mi viene questa roba:”.

7654 = 802 + 2 × 8 × 10 × t + t2.

“Ottimo. 802 fa 6400, è un numero che avevi già calcolato nel primo passo dell'algoritmo del calcolo della radice quadrata. La parte interessante è quella che segue: 2 × 8 × 10 × t + t2”.

“Che deve dare il famoso 1254”.

“Proprio così. Scriviamolo per bene:”.

2 × 8 × 10 × t + t2 = 1254.

“Ok, e adesso?”.

“Raccogliendo a fattor comune t si ottiene”.

(2 × 8 × 10 + t) × t = 1254

“Bene, e questo mi aiuta a trovare t?”.

“Questo spiega il passaggio magico dell'algoritmo della radice quadrata. Ricordi che avevi trovato la prima cifra, 8?”.

“Sì, e l'avevo scritta in alto”.

“Bene. Adesso il procedimento dice: abbassa altre due cifre di 7654, e poi raddoppia le cifre che hai trovato provvisoriamente per la radice quadrata, scrivile sotto, in questo modo…”.

76.54 | 8
64    |-------
----- | 16
12.54 |


“E poi?”.

“E poi trasforma 16 in decine, e trova quella cifra t delle unità da aggiungere a 16 in modo da trovare un numero 16t tale che 16t × t sia il più vicino possibile a 1254, senza però superarlo”.

“Ma quando scrivi 16t non intendi 16 × t, vero?”.

“No, è per questo che ho sempre esplicitato il simbolo di moltiplicazione: in questo caso con 16t intendo un numero di tre cifre avente 1 come cifra delle centinaia, 6 come cifra delle decine, e t come cifra delle unità”.

“E come si fa a trovare quel numero?”.

“Lo spiega sempre .mau.: in sostanza si va per tentativi, facendo una stima grossolana per eccesso e poi scendendo. Avevamo trovato un resto parziale di 12, dopo aver scritto il primo 8”.

“Vero”.

“Ora, 12 sono diventate centinaia, e la cifra delle decine è diventata 5”.

“Sì, poi 4 è quella delle unità, in modo da ottenere 1254”.

“Tieni solo le prime 3, cioè 125”.

“Ok”.

“Adesso calcola 125 / 16”.

“Viene 7.8 e rotti”.

“Parti quindi da 8, e fai 168 × 8, scrivendolo nello spazio vuoto sotto a 8”.

“Così?”.

76.54 | 8
64    |---------------
----- | 168 × 8 = 1344
12.54 |


“Sì: come vedi 1344 è un numero maggiore di 1254”.

“Allora?”.

“Allora la stima t = 8 era troppo alta, abbassala di uno e ripeti il procedimento”.

76.54 | 8
64    |---------------
----- | 168 × 8 = 1344
12.54 | 167 × 7 = 1169


“Questo va bene, ora puoi scrivere 1169 sotto a 1254 e calcolare il resto giusto. E non dimenticare di aggiungere la cifra 7 al risultato della radice, in alto, di fianco all'8”.

“Ecco:”.

76.54 | 87
64    |---------------
----- | 168 × 8 = 1344
12.54 | 167 × 7 = 1169
11.69 |
----- |
   83 |

“Perfetto, fine del procedimento. La radice di 7654 è 87 con resto di 83”.

“Fammi capire meglio questa cosa del resto, che non l'avevo mai sentito associato alle radici quadrate”.

“Quello che abbiamo fatto è questo: dato m, numero intero positivo, lo abbiamo scritto così”.

m = s2 + r

“Ah, dove s è la radice quadrata approssimata per difetto”.

“E r è il resto, esatto. Nel nostro caso 7654 = 872 + 83”.

“Ho capito”.

“Il procedimento per fare il calcolo a mano è quello di fare i conti a pezzi, dando per scontato che riusciamo a calcolare a mente le radici dei numeri di due cifre”.

“Ok”.

“La cosa strana è che per poter andare avanti e aggiungere una cifra occorre inserire una strana moltiplicazione per 2, che non si sa bene da dove salti fuori”.

“Quando abbiamo preso l'8 appena scritto e lo abbiamo fatto diventare 16?”.

“Proprio così. La spiegazione di quella parte è che quella moltiplicazione per 2 corrisponde al famoso doppio prodotto che salta fuori nello sviluppo del quadrato del binomio”.

“Che roba”.

“E quindi la prossima cifra l'abbiamo cercata intorno all'approssimazione 125 diviso per il doppio prodotto, cioè 125 / 16”.

“Avremmo dovuto fare 1254 / 167”.

“Certo, ma quel 7 non lo conoscevamo ancora…”.

“Ah, già, è vero! E quindi abbiamo stimato 1254 / 16t facendo 125 / 16”.

“Sì, e poi abbiamo aggiustato il tiro”.

“E dici che i computer fanno la stessa cosa?”.

“Non so se tutti i computer facciano così, ma questo è l'algoritmo usato dalla libreria GMP: GNU multiple precision arithmetic library”.

“Dalla descrizione presente nell'introduzione, sembra il meglio che possiamo avere per fare calcoli”.

“Pare proprio di sì: precisione multipla, massima velocità. L'algoritmo usato dalla libreria è in realtà una generalizzazione di questo, ma si basa su questi identici concetti: prendo un numero arbitrariamente grande e lo spezzetto fino a che non so fare i calcoli”.

“A gruppi di 2 cifre?”.

“Non esattamente, ma lo vediamo in dettaglio la prossima volta. Per ora accontentiamoci di definire bene quello che vogliamo fare”.

“La radice quadrata, no?”.

“Certo, ma come definiamo per bene il resto? Quanto può essere grande al massimo?”.

“Ehm”.

“Vedi che occorre, prima di tutto, capire quello che vogliamo. Allora, dato un numero m, diciamo che s è la sua radice quadrata e r è il resto se valgono queste relazioni:”.

s2m = s2 + r < (s + 1)2

“Ok, credo di aver capito, il resto non deve essere così grande da farmi arrivare al quadrato successivo”.

“Esatto”.

martedì 13 marzo 2018

Insomma, pi greco

“Eccoci dunque al punto finale, la quadratura del cerchio”.

“Oh, bene”.

“Facciamo un riassunto di tutto quello che abbiamo detto finora”.

“Ottimo”.

“I numeri reali si dividono in due categorie: i numeri razionali, cioè le frazioni, e i numeri irrazionali”.

“Cioè tutti gli altri”.

“Esatto. Ora, anche gli irrazionali sono divisibili in due categorie: i numeri algebrici (di cui fanno parte anche i razionali) e i numeri trascendenti”.

“I numeri algebrici sono quelli che possono essere soluzioni di equazioni polinomiali, vero?”.

“Equazioni polinomiali a coefficienti interi, altrimenti tutti i numeri potrebbero essere soluzioni dell'equazione x = a, e fine della storia”.

“Giusto”.

“Invece i trascendenti non possono essere soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti interi”.

“E fin qua ci siamo”.

“Alcuni numeri algebrici, poi, sono costruibili”.

“Il che significa che sono costruibili con riga e compasso, vero?”.

“Sì. Con riga e compasso si possono costruire numeri che, a partire dall'unità, possono essere ottenuti con un numero finito di somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, e estrazioni di radice quadrata”.

“E ora c'è pi greco”.

“Già. Il problema della quadratura del cerchio si traduce in questa domanda: usando solo riga e compasso è possibile costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio dato? Domanda che, in linguaggio aritmetico, diventa: pi greco è un numero costruibile?”.

“E la risposta è no”.

“La risposta è: pi greco è un numero trascendente, e quindi se non appartiene all'insieme dei numeri algebrici non può appartenere nemmeno all'insieme dei numeri costruibili, che è un sottoinsieme proprio degli algebrici. Ma la dimostrazione di questa affermazione è lunga e difficile”.

“Lo sospettavo”.

“Ricordi quando abbiamo dimostrato l'esistenza di un numero trascendente?”.

“Sì, abbiamo usato una proprietà dei trascendenti, se ben ricordo, che riguardava le approssimazioni che possiamo fare con le frazioni”.

“Esatto: il numero che abbiamo trovato può essere approssimato con frazioni del tipo m/n con precisione minore di 1/nk, per qualunque k”.

“Anche pi greco, quindi?”.

“Purtroppo no, per pi greco questo metodo non funziona. Bisogna generalizzarlo tanto”.

“Questo tanto mi inquieta”.

“Cominciamo con notare che π ed e, il numero di Nepero, sono strettamente legati”.

“Non sarà la solita storia della formula più bella della matematica?”.

“Eh, sì. Sappiamo che eiπ = −1”.

“Ok, e quindi?”.

“E quindi se riusciamo a dimostrare che ea, con a un qualunque numero algebrico, non può essere uguale a −1, siamo a posto”.

“Fammi capire”.

“Dato che sappiamo che eiπ è effettivamente uguale a −1, se riusciamo a dimostrare quel teorema possiamo concludere che iπ non è algebrico”.

“Quindi iπ è trascendente, ma come facciamo a togliere i?”.

“Beh, è facile, i è algebrico, perché è soluzione dell'equazione a coefficienti interi x+ 1=0, e quindi se il prodotto iπ è trascendente, significa che π deve esserlo”.

“Ah, ecco! Ottimo, quindi in effetti abbiamo spostato il problema dallo studio di pi greco allo studio della funzione esponenziale, vero?”.

“Proprio così. Ora, facciamo un passo più semplice di quello che vorremmo, giusto per capire come funzionano le cose: dimostriamo che e è irrazionale. Ci ricordiamo che per la funzione esponenziale esiste una serie di potenze che converge a essa”.

“Ed ecco che entra in campo l'analisi…”.

“Sì, una dimostrazione di teoria dei numeri fatta con l'analisi: bella roba. Ricordi quale serie di potenze converge all'esponenziale?”.

“Era una serie facile, mi pare 1 + x + x2/2! + x3/3! + …”.

“Esatto. Ora, supponiamo per assurdo che e sia razionale, cioè una frazione. Questo vuol dire che se moltiplico questa fantomatica frazione per un numero sufficientemente grande, ottengo un numero intero”.

“Certamente”.

“Allora calcolo n!e1, con n sufficientemente grande da fare in modo che il denominatore se ne vada. E uso proprio lo sviluppo in serie di ex”.

“Va bene, aspetta che provo a capire. Se prendo la serie dell'esponenziale vedo che si semplificano tanti denominatori”.

“Quanti?”.

“Beh, sicuramente quelli fino a xn/n!”.

“Giusto; e ricorda che abbiamo posto x = 1. Che succede dopo quel termine?”.

“Eh, mi sa che rimane una frazione: 1/(+ 1). Anzi, non solo una, poi c'è 1/(+ 1)(+ 2), e così via”.

“Esatto. E quindi n!e non può essere un intero”.

“E quindi e non può essere razionale! Molto bello”.

“E ora un altro passo di analisi: quello che abbiamo dimostrato non è che esiste soltanto un caso in cui, moltiplicando la frazione che dovrebbe essere uguale a e, si ottiene un assurdo. Di casi come quello che ne sono infiniti, basta prendere il moltiplicatore sempre più grande”.

“D'accordo”.

“Ogni volta che moltiplichiamo l'espansione in serie di e otteniamo una prima parte intera, e poi una coda composta da tante frazioni aventi il numeratore uguale a 1, e il denominatore che diventa sempre più grande.”.

“Immagino che il passo di analisi sia fare diventare infinitamente grande quel denominatore”.

“Immagini bene. Quello che abbiamo fatto, detto in altri termini, è questo: abbiamo trovato due successioni fn e gn tali che la differenza fnegn diventa sempre più piccola man mano che n diventa sempre più grande. Nel nostro caso, giusto per essere chiari, fn è uguale a n!, mentre gn è uguale a 1/(+ 1) + 1/(+ 1)(n + 2) + …”.

“Ok, ho capito”.

“Quindi questa è una tecnica per dimostrare che un numero è irrazionale: trovo due successioni con quelle proprietà, e sono a posto”.

“Bene”.

“Ora un altro passo: passiamo dalla dimostrazione di irrazionalità di e1 alla dimostrazione di irrazionalità di ea, con a razionale diverso da zero”.

“Procediamo sempre allo stesso modo, con quelle due successioni?”.

“Sì, ma ora dobbiamo farlo per il caso generale, dove l'esponente di e è variabile. E l'aiuto ci viene proprio dalle approssimazioni di Padé”.

“Oh”.

“Sì, dal fatto che ex può essere approssimata molto bene dal rapporto f(x)/g(x), eliminando il denominatore possiamo passare all'espressione g(x)ef(x), che diventa sempre più piccola all'aumentare del numero di termini con cui faccio l'approssimazione”.

“Mamma mia”.

“Uno studio super tecnico di come sono fatti i polinomi f(x) e g(x) porta alla dimostrazione dell'ultima affermazione”.

“Super tecnico?”.

“Sì, vengono espressi come funzioni integrali di altre funzioni, in modo da poter costruire delle disuguaglianze comode e utili”.

“Certo, comode e utili…”.

“L'analisi è la matematica delle disuguaglianze: tutto è stima”.

“Andiamo bene”.

“Ti faccio solo un esempio, giusto per darti un'idea del livello: l'approssimazione di Padé di ordine 8 per la funzione esponenziale è questa: ”.

(x8 − 72x7 + 2520x6 − 55440x5 + 831600x4 − 8648640x3 + 60540480x2 − 259459200x + 518918400) / (x8 + 72x7 + 2520x6 + 55440x5 + 831600x4 + 8648640x3 + 60540480x2 + 259459200x + 518918400)

“Argh”.

“Che corrisponde a questa bella formuletta:”.



“Orrore”.

“Dove f(x) è il denominatore della frazione enorme che ho scritto prima, e g(x) il numeratore”.

“Che roba. Ehi, però c'è un'esponenziale con esponente −x, come mai?”.

“L'abbiamo fatto solo per comodità, invece di avere l'esponenziale con esponente x che moltiplica g, abbiamo diviso tutto per ex per ottenere quell'integrale, che ci piace molto perché ha un fattoriale al denominatore. E quando nei denominatori ci sono di mezzo i fattoriali sappiamo che tutto diventa piccolo molto in fretta”.

“Già, il fattoriale diventa enorme molto in fretta”.

“E allora, se immaginiamo che π possa essere una frazione N/D, moltiplicandolo per D dovremmo ottenere un intero, e quindi anche l'espressione f(iDπ) − eiDπg(iDπ) sarà un intero, perché la formula più bella della matematica ci dice che eiπ è uguale a 1, mentre f(x) e g(x) sono polinomi”.

“Siii, e quindi?”.

“E quindi avremmo un intero positivo minore di un numero piccolo quanto vogliamo. Minore di 1, ad esempio”.

“Ma non esistono interi positivi minori di 1, no?”.

“Appunto: è assurdo. Quindi π non può essere una frazione”.

“Ah! Ecco la dimostrazione!”.

“Noi però vogliamo dimostrare che π è trascendente, non ci basta che sia irrazionale”.

“Oh, no, è vero! Per un attimo avevo avuto l'illusione di aver finito”.

“Eh, no. Questo era solo riscaldamento. La strada per dimostrare che π è trascendente segue, però, quella che abbiamo percorso adesso, con ulteriori complicazioni”.

“Capirai”.

“Per prima cosa, si prendono in considerazioni delle approssimazioni di Padé simultanee”.

“Ossignore”.

“Significa semplicemente che approssimano bene non solo in un punto, ma in tanti punti. In quell'integrale che ho scritto sopra, invece di avere una sola parentesi del tipo (x) ce ne saranno tante diverse”.

“Mah”.

“Avremo quindi polinomi f e g che non dipendono solo da una x, ma da tante x diverse”.

“Cioè avremo x1, x2, e così via?”.

“Esatto”.

“Ma tutto questo perché?”.

“Eh, prima non ne abbiamo avuto bisogno perché abbiamo supposto che π fosse una frazione, e ci è bastata una approssimazione di Padé normale”.

Normale”.

“Ora, invece, se vogliamo dimostrare che π è trascendente, l'assurdo dovrebbe partire dalla supposizione che π sia algebrico. E non tutti i numeri algebrici sono frazioni”.

“E allora come si fa?”.

“Se quei numeri algebrici li moltiplichiamo per opportuni altri numeri algebrici, però, diventano frazioni”.

“Uh, ma come? Fammi capire”.

“Prendi per esempio la radice di 2”.

“Ok”.

“Se la moltiplichi per radice di 2, ottieni 2, che è addirittura naturale”.

“Vabbé, così è facile”.

“Prendi allora l'espressione (3 − √2)”.

“Ok”.

“Se la moltiplichi per (3 + √2) ottieni 9 − 2 = 7”.

“Ah, vero. Funziona sempre questa cosa?”.

“Sì, per ogni numero algebrico esistono sempre altri numeri algebrici che, moltiplicati per il primo, mi danno un numero razionale. È legato al fatto che i numeri algebrici sono sempre soluzioni di polinomi con coefficienti interi: quindi dato il numero iniziale, prendo il polinomio di grado minimo di cui questo è soluzione. Questo avrà un certo numero di altre radici, e se le moltiplico tutte ottengo il termine noto di quel polinomio, che è un numero intero”.

“Forse ho capito, posso provare un esempio?”.

“Certo!”.

“Se prendo la radice cubica di 3, so che questa è soluzione di x3 − 3=0”.

“Giusto”.

“Quindi se prendo le tre soluzioni dell'equazione x3 − 3 = 0, e le moltiplico tra loro… cosa ottengo?”.

“Pensaci bene: se le tre soluzioni sono x1, x2 e x3, l'equazione x− 3 = 0 può anche essere scritta come (x1)(x2)(x3) = 0”.

“Vero”.

“E allora se svolgi tutto dove va a finire il prodotto x1x2x3?”.

“Ah! Nel termine noto, che è 3! Molto bene, funziona davvero”.

“E funziona anche con la somma: quanto fa x1 + x2 + x3?”.

“Vediamo, devo sempre prendere in considerazione quel prodotto di tre parentesi?”.

“Sì: dove salta fuori la somma delle tre soluzioni?”.

“Mi pare che si possa trovare nel coefficiente del termine di secondo grado: quando faccio tutti i possibili prodotti, posso raccogliere x2 e ottenere, come coefficiente, la somma x1 + x2 + x3”.

“Per essere più precisi, la somma cambiata di segno, ma non è molto importante. Il fatto importante è che la somma sia il coefficiente del termine di secondo grado, quindi ancora una volta un numero intero”.

“Ah, bene”.

“Dato che questi numeri che servono per avere somma e prodotto interi sono molto importanti in questo campo, i Veri Matematici hanno creato una definizione apposta per loro: si chiamano coniugati della radice del polinomio che abbiamo preso in considerazione”.

“Ok”.

“Ecco allora come funziona il giochino delle approssimazioni di Padé: vogliamo dimostrare che ea non può essere uguale a −1, qualunque sia a, algebrico. Si prendono allora tutti i coniugati di a, e si considerano i prodotti aventi come fattori (ea+ 1), in cui i termini ai sono, appunti, i coniugati”.

“Le cose si complicano”.

“Già. Poi si considerano le approssimazioni di Padé simultanee, cioè quelle approssimazioni che approssimano bene tutti i termini del tipo eb che saltano fuori svolgendo i prodotti appena fatti”.

“Oh, mamma”.

“Ancora una volta salta fuori un integrale con un bel fattoriale al denominatore”.

“E i fattoriali ci piacciono”.

“Esatto. Così risulta un numero naturale che può essere minore di 1”.

“E questo è impossibile”.

“Purché non sia zero…”.

“Santo cielo! Ma non c'è mai fine!”.

“La dimostrazione del fatto che quel numero che salta fuori non è zero ha bisogno delle congruenze, ma non mi azzardo a scrivere tutti i passaggi: ti dico solo che si riesce a vedere che comunque noi scegliamo un numero primo p quel numero è congruente a una certa espressione positiva modulo p. Se quindi prendiamo un numero primo p abbastanza grande, quel numero è positivo”.

“E dato che i numeri primi sono infiniti…”.

“Un numero primo abbastanza grande lo troviamo sempre, e qui la dimostrazione finisce davvero”.

“Gulp. Comincio a capire perché è una dimostrazione del 1882”.

“Eh, sì. Sviluppi in serie, formula di Eulero, integrali, approssimazioni, infinità dei numeri primi: contiene di tutto.”.

“Che fatica! Non oso pensare alla fatica che hanno fatto quelli che sono arrivati alla dimostrazione per primi”.

“Eh, erano bravi”.

lunedì 12 febbraio 2018

Padé, che approssimava bene

“Allora non ce la facciamo a capire se pi greco è trascendente o no? Con tutta la teoria che abbiamo visto…”.

“Eh, non basta”.

“Ma, scusa, avevi detto che se un numero è approssimabile da numeri razionali con errore più piccolo di qualunque potenza del denominatore, allora è trascendente”.

“Esatto”.

“Ma quindi?”.

“Non ho detto il viceversa. Non è mica vero che ogni trascendente è approssimabile come si vuole, purtroppo”.

“Ah”.

“Il numero di Liouville è stato costruito apposta per soddisfare quel teorema, ma pi greco è un'altra cosa. Diciamo che è più naturale del numero di Liouville, ammesso che questa affermazione abbia senso”.

“Ci sarebbe da discutere, infatti”.

“Fatto sta che non si può procedere con pi greco come abbiamo fatto con quel numero. Le cose diventano molto, molto più difficili”.

“Ahi, hai detto molto due volte”.

“Già. Invece di usare frazioni che approssimano, si usano polinomi che approssimano. E per fare vedere che pi greco è trascendente, serve l'analisi”.

“Derivate?”.

“Derivate e integrali, condite con il teorema di infinità dei numeri primi e compagnia bella, tra cui anche la formula più bella della matematica”.

“Uh”.

“Provo a darti un'idea di queste frazioni polinomiali che approssimano le funzioni”.

“Proviamo”.

“Hai presente l'idea che sta sotto alla formula di Taylor?”.

“Ehm”.

“Capirai. L'idea è questa: ogni funzione (che soddisfa determinate ipotesi ragionevoli, naturalmente), può essere approssimata bene quanto si vuole da un polinomio. Se vogliamo che l'approssimazione sia buona, il polinomio deve avere grado alto. Più alto è il grado, migliore è l'approssimazione”.

“Va bene, l'idea me la ricordavo”.

“Prendiamo per esempio la funzione y = ex, che ci servirà”.

“Ok”.

“Ecco un po' di polinomi approssimanti:”.

y = 1
y = 1 + x
y = 1 + x + x2/2
y = 1 + x + x2/2 + x3/6
y = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24

“Simpatici”.

“Te li metto anche in un disegno, eccoli qua. In rosso c'è la funzione y = ex, in verde le varie approssimazioni”.




“Non mi dirai che sono belle approssimazioni”.

“Capisco la tua obiezione: devi guardare vicino al punto (0,1). La retta orizzontale è la funzione costante uguale a 1, che approssima come può”.

“Una schifezza”.

“Sì. Poi però abbiamo una retta che approssima meglio, la tangente, e poi delle curve. Se osservi bene, vedi che andando verso destra approssimano sempre meglio la curva rossa”.

“Sì, capisco, ma a sinistra fanno pena”.

“E questo è il problema dei polinomi. La funzione esponenziale ha un asintoto orizzontale, ma i polinomi non ce l'hanno. O salgono sempre, o scendono sempre”.

“E quindi come si fa?”.

“Con queste approssimazioni, non facciamo molto. Ma Padé, che era un matematico francese, ha studiato approssimazioni con frazioni algebriche, cioè frazioni in cui sia il numeratore che il denominatore sono polinomi”.

“E queste approssimano meglio?”.

“Beh, con le frazioni puoi anche fare gli asintoti”.

“Ah”.

“Per esempio, la frazione che ha al numeratore 60 + 24x + 3x2 e al denominatore 60 − 36x + 9x2x3 ha questo grafico”.



“Ah, sembra identica, si vede sbordare un po' di rosso solo agli estremi”.

“Visto? Approssima molto meglio del singolo polinomio, anche se anche qua c'è un difetto”.

“Quale?”.

“Ti faccio vedere il grafico da un po' più lontano”.



“Ah, c'è una parte anche sotto!”.

“Già, non si può avere la perfezione, però questo tipo di approssimazione ci basta”.

“Ma cosa c'entra l'esponenziale con pi greco?”.

“C'entra, c'entra, colpa della formula più bella della matematica”.

martedì 9 gennaio 2018

Il numero di Liouville

“Insomma, come si fa a riconoscere se un numero è algebrico o trascendente?”.

“Prima di provare a rispondere, ecco un riassunto di quanto abbiamo detto finora:”.

Se x è un numero irrazionale, esistono infinite frazioni del tipo m/n, ridotte ai minimi termini, che approssimano x con un errore minore di 1/(√(5)×n2), e la radice di 5 è la più grande costante utilizzabile in questo denominatore.

“Ok, mi ricordo, e ricordo anche che se si prova a aumentare la costante √(5) non è più vero che esistono infinite frazioni con quella proprietà”.

“Bene. Se proviamo ad aumentare ulteriormente l'esponente al denominatore, succede che il teorema non è più vero in generale. Cioè: non è vero che per qualsiasi numero algebrico esistono infinite frazioni del tipo m/n che approssimano quel numero con un errore minore di 1/n3. Questa è una proprietà dei numeri algebrici: se consideriamo i numeri trascendenti, non possiamo più affermarla. Esistono numeri trascendenti che la rispettano, e invece altri numeri trascendenti che possono essere approssimati con infinite frazioni con un errore minore di 1/n3, o anche 1/n4, 1/n1000, eccetera”.

“Addirittura”.

“Sì, esiste una categoria di numeri che possono essere approssimati con un errore minore di 1/nk, per qualunque k ti possa venire in mente”.

“Ah”.

“Ti faccio un esempio, ma prima dobbiamo ricordarci cosa sia il fattoriale”.

“Me lo ricordo, il fattoriale di un numero n è il prodotto di tutti i numeri da 1 fino a n”.

“Sì. Puoi scrivere i fattoriali dei primi numeri?”.

“Ah, certo, eccoli: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, …”.

“Ok, fermati pure. Allora, costruiamo un numero decimale in cui le cifre siano 0 oppure 1”.

“Bene, come decidiamo quando mettere 0 e quando mettere 1?”.

“Mettiamo quasi sempre 0, mettiamo 1 solo nelle posizioni 1, 2, 6, 24, eccetera”.

“Nelle posizioni identificate dai fattoriali?”.

“Esattamente. Le prime cifre del numero sono queste:”.

0.1100010000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010…

“Capito. Cos'ha di speciale questo numero?”.

“Questo può essere approssimato bene quanto vuoi con frazioni del tipo m/n in cui l'errore è minore di 1/n elevato a qualunque esponente ti possa venire in mente”.

“Oh, quindi è impossibile che sia algebrico, no?”.

“Proprio così, nessun numero algebrico gode di quella proprietà”.

“E come faccio a approssimarlo così bene?”.

“Te lo spiego con un esempio. Scegli un esponente a cui elevare 1/n, non troppo grande altrimenti dobbiamo scrivere un'infinità di zeri”.

“Facciamo 4, allora. Tanto il teorema che mi hai raccontato dice che non posso superare 2, no?”.

“Esatto. Ok, prendiamo 4 allora. Consideriamo quindi le cifre dopo la virgola del nostro numero fino alla quarta cifra 1. Insomma, prendiamo questo numero razionale:”.

0.110001000000000000000001

“Bene”.

“A che frazione è uguale?”.

“Allora, il quarto 1 si trova in posizione 4!, cioè 24, quindi dovrebbe essere questa frazione: 110001000000000000000001/104!”.

“Giusto. Facciamo così: indichiamo con L l'intero numero, e con A questa approssimazione”.

“Va bene”.

“Calcoliamo quindi LA”.

“Ci sono un sacco di zeri, uhm. Abbiamo in pratica cancellato i primi quattro 1, tutto il resto è rimasto uguale”.

“Giusto. Ora ti scrivo una serie di stime per cercare di capire come sia fatto questa differenza LA, tu seguimi, ok?”.

“Proviamo”.

“Prima di tutto, LA è uguale a 1/105!+1/106!+1/107!+…”.

“Stai scrivendo tutti gli 1 che rimangono, insomma”.

“Esatto. Questo numero è certamente minore di 2/105!”.

“Uhm, d'accordo, hai sostituito la somma di tutte la frazioni da 1/106! in avanti con un altro termine 1/105!”.

“Sì. Ora, la frazione 2/105! è uguale a 2/105×4!”.

“Questo perché 5! è uguale a 5 moltiplicato 4!”.

“Certo. Possiamo anche scrivere che 2/105×4! è uguale a 2/10(4+1)×4!, cioè 2/[104×4!×104!]”.

“Mi pare che tu abbia usato una proprietà delle potenze”.

“Proprio così. Dato che 2/104! è certamente minore di 1, possiamo affermare che tutta la frazione è minore di 1/104×4!”.

“Sì, è chiaro”.

“Riassunto: LA < 1/104×4!”.

“E quindi?”.

“Ricordi chi è A?”.

“L'approssimazione di L che stiamo studiando, cioè 110001000000000000000001/104!”.

“E ricordi quello che vogliamo fare?”.

“Vogliamo mostrare che possiamo approssimare L con frazioni del tipo m/n con un errore minore di 1/n elevato all'esponente che voglio”.

“E tu hai scelto 4 come esponente”.

“Giusto”.

“Ebbene, abbiamo appena trovato una frazione del tipo m/n, dove m = 110001000000000000000001 e n = 104! che approssima A con un errore minore di 1/104×4!, cioè 1/n4”.

“Ah!”.

“E hai visto che l'esponente 4 l'hai scelto tu, potevi scegliere un qualunque numero naturale”.

“Esatto”.

“E quindi hai in realtà infinite frazioni che approssimano L con un errore minore di 1/n4, o minore di 1/n5, eccetera”.

“Bene! E quindi L non è un numero algebrico, ecco fatto”.

“E così abbiamo fatto vedere che esiste almeno un numero trascendente. Bello, eh?”.

“Bello, sì. E anche per pi greco si può fare lo stesso ragionamento?”.

“Eh, magari”.