lunedì 22 agosto 2011

I greci non erano normali — 24: costruzioni improponibili

«Abbiamo parlati dei numeri primi di Fermat, ma ci siamo fermati a F2».

«Già, F= 17, mi hai raccontato del giovane Gauss e dell'eptadecagono».

«Sai che Gauss era così orgoglioso della sua scoperta che avrebbe voluto che un eptadecagono fosse scolpito sulla sua tomba?».

«E l'hanno accontentato?».

«No, lo scalpellino si è rifiutato, ha detto che sarebbe stato confuso con una circonferenza».

«Ma poveretto».

«Ora andiamo avanti nell'analisi dei numeri primi di Fermat».

«Siamo a F3 = 223+1 = 28+1 = 256+1 = 257. Duecentocinquantasette lati?».

«Già, se era indistinguibile da un cerchio quello di 17 lati, figurati questo. Devi sapere che Gauss ha solo dimostrato la costruibilità di tutti questi poligoni, ma non ha spiegato come fare per realizzare la costruzione geometrica. In fondo è un esercizio banale, almeno per quelli come Gauss».

«Ah, ho visto quanto è banale la costruzione dell'eptadecagono, quella animazione non finiva più…».

«Ecco, sappi allora che c'è stato qualcuno che ha spiegato come fare per costruire effettivamente il 257-gono, ma per questo ti lascio alla pagina su wikipedia (tra l'altro, gli inglesi non ce l'hanno nemmeno, una voce sul 257-gono)».

«Roba da matti».

«Ma andiamo avanti con i numeri di Fermat».

«Il prossimo è F4 = 224+1 = 226+1 = 65536+1 = 65537. Argh».

«Un 65537-gono».

«Non dirmi che qualche pazzo furioso ha provato a costruirlo davvero».

«Certo. Pare che abbia impiegato dieci anni per completare la sua opera. Duecento pagine di calcoli».

«Incredibile».

«Naturalmente, la costruzione è del tutto teorica, ma irrealizzabile a mano».

«Ci credo».

«Non solo perché per disegnare 65537 lati ci vuole un po' di tempo, ma anche per le dimensioni del disegno: se il poligono fosse inscritto in un cerchio di raggio un centimetro, il lato del poligono sarebbe lungo 0.0009587 millimetri, mentre uno dei primi cerchi necessari per risolvere la prima equazione di secondo grado avrebbe raggio uguale a 81.91 metri».

«E quindi l'autore di questa meravigliosa impresa è stato pagato per dieci anni per trovare un metodo irrealizzabile?».

«Ehm, già. E non è finita qui: Conway, nel 1997, ha messo in dubbio la validità della costruzione».

«Pure!».

«Sì. Propose a uno dei suoi studenti la costruzione del 65537-gono, e si accorse che l'impresa era molto ardua. Ci ha lavorato un po', e sostiene che la sua idea di dimostrazione potrebbe riempire una ventina di pagine scritte fitte, e il valore esatto del lato del 65537-gono potrebbe essere calcolato facilmente con un computer, oggi».

«Vedo che su wikipedia c'è una figura che descrive la prima parte della costruzione».

«Sì, ed è già molto complicata così: è quella parte che serve per costruire il famoso cerchio di raggio 81.91 metri. Comunque, ora abbandoniamo il 65537 e parliamo dei successivi numeri di Fermat».

«Avevi detto che ce ne sono solo cinque».

«Le cose stanno così: i numeri di Fermat sono naturalmente infiniti, ma non tutti sono primi. Noi abbiamo parlato dei primi cinque, che lo sono. Fermat congetturò che lo fossero tutti, ma si sa che Fermat le sparava un po', ogni tanto».

«Non è riuscito a dimostrarlo, quindi?».

«No».

«E dopo Fermat, che è successo?».

«È arrivato Eulero».

2 commenti:

agapetòs ha detto...

John Conway è lo stesso di "Life" (John Horton) ?
Perché su wikipedia vedo che c'è un altro matematico quasi suo omonimo (John Bligh)

zar ha detto...

John Horton Conway, sempre lui.