lunedì 1 agosto 2011

I greci non erano normali — 16: l'equazione ciclotomica

«Mh, il titolo di oggi mi inquieta».

«Perché?».

«Ciclotomica? Sembra una roba chirurgica».

«In un certo senso, lo è: l'equazione ciclotomica è quella che serve per dividere il cerchio».

«Come abbiamo fatto per la ricerca delle radici dell'unità?».

«Esattamente. Prendiamo il caso facile, le radici quadrate dell'unità. L'equazione che vogliamo risolvere è x= 1».

«Sì, e come risultato abbiamo +1 e -1».

«Certo, ma lasciami scrivere l'equazione in un altro modo: x2-1 = 0».

«Cosa cambia?».

«Nulla, ma così possiamo poi generalizzare. Ricorderai che l'espressione x2-1 si può scomporre».

«Sì, in prima superiore mi hanno spiegato la differenza tra due quadrati (anche in terza media, a dir la verità, ma arrivato in prima non ricordavo più nulla)».

«Eh, succede spesso… Allora, sei d'accordo sul fatto che si può scrivere x2-1 = (x-1)(x+1)?».

«Sì».

«Ora, la prima parentesi, (x-1), si annulla quando = 1. Questa è la soluzione ovvia: radice di uno è uguale a uno».

«Giusto. L'altra parentesi, invece, si annulla per = -1, l'altra soluzione dell'equazione».

«Perfetto. Ora passiamo alle radici cubiche. Vogliamo risolvere l'equazione x3-1».

«Va bene, possiamo scomporre anche qui?».

«Certo, se ti ricordi la scomposizione della differenza di due cubi».

«Dovrebbe essere questa: x3-1 = (x-1)(x2+x+1)».

«Esatto. Come vedi, hai sempre la parentesi (x-1), che si annulla per = 1».

«La soluzione ovvia».

«Già. E poi hai un'equazione di secondo grado, che è impossibile da risolvere nei reali, ma ha due soluzioni complesse».

«Fammi provare. Dovrebbe risultare questo:».



«Esatto. Riconosci questi valori?».

«Uhm… ehi! Sono gli stessi valori che mi hai detto tu quando mi hai mostrato le due radici cubiche dell'unità complesse!».

«Sono loro, ottimo. Quella equazione, x2+x+1, si chiama equazione ciclotomica perché è proprio quella che ci serve per dividere il cerchio in n parti uguali. Naturalmente c'è anche la soluzione ovvia, = 1, ma quella c'è sempre e non abbiamo bisogno di risolvere una equazione per trovarla. Quindi, in generale, l'equazione che ci serve per dividere un cerchio in n parti uguali è xn-1 = 0, ma questa contiene anche il termine (x-1), che è sempre presente e possiamo metterlo da parte».

«E cosa rimane, quindi?».

«L'espressione generale è questa: xn-1 = (x-1)(xn-1+xn-2+…+x2+x+1). L'espressione lunga tra parentesi è l'equazione ciclotomica. Lunga da scrivere, ma molto semplice da ricordare: tutti i coefficienti sono uguali a 1».

«Sì, è un po' monotona».

«Adesso considera la prima soluzione di quella equazione».

«Cioè = 1?».

«No, quella è la soluzione ovvia, che non è soluzione dell'equazione ciclotomica. Considera quella successiva, sul cerchio, andando in senso antiorario».

«Ok, credo di aver capito, ma se facciamo un esempio è meglio».

«Esempio facile: prendiamo x4-1 = 0».

«Che si scompone in (x-1)(x3+x2+x+1) = 0».

«Sì, proprio così. Lasciamo da parte (x-1) = 0, che ci dà la soluzione ovvia = 1».

«Quindi dovrei prendere la prima soluzione di x3+x2+x+1 = 0. Come faccio?».

«Ricordati che le soluzioni le abbiamo già viste: stiamo parlando delle radici quarte dell'unità».

«Ah, è vero, le quattro soluzioni sono +1, +i, -1, -i, andando in senso antiorario».

«E dunque la prima soluzione non ovvia è +i. Indichiamola, in generale, con R».

«Bene, e adesso?».

«Adesso cominciamo a fare un po' di potenze. Quanto fa R2?».

«Vediamo, i= -1».

«Perfetto, e così lo hai calcolato in modo algebrico. Ti avevo anche spiegato un altro modo, legato alla forma polare dei numeri complessi».

«Ah, è vero, devo elevare il modulo e raddoppiare l'argomento».

«Già. Quanto è il modulo di i?».

«Uno. E quindi se lo elevo al quadrato rimane tale e quale».

«Bene. Quanto è invece l'argomento?».

«90 gradi. Se lo raddoppio, ottengo 180 gradi, cioè vado a finire su -1. Bene, tutto torna».

«Ora calcola R3».

«Mi viene un angolo di 270 gradi, cioè finisco su -1. È vero, i3 fa -i».

«E infine, calcola R4».

«Faccio un giro completo e ottengo di nuovo 1».

«Bene, ti riassumo quello che abbiamo: un insieme di quattro elementi, che possiamo indicare con 1, R, R2, R3».

«O anche R, R2, R3, R4».

«Giusto, dato che R= 1. Se noi prendiamo due qualsiasi di questi elementi e li moltiplichiamo tra di loro, otteniamo sempre uno di quegli elementi, non usciamo dall'insieme».

«Fammi fare una prova: R3 moltiplicato R2 fa R5».

«Che è uguale a R4R».

«Ah, ci sono! Dato che R4 è uguale a 1, rimane R. Sono come i numeri dell'orologio!».

«Esatto, questi calcoli sono identici a quelli che si fanno nell'aritmetica modulare. E non è finita qua: ogni elemento ammette un reciproco».

«Tipo 1/R?».

«Sì, prova a calcolare: quale elemento del nostro insieme è 1/R?».

«E come faccio?».

«Devi pensare a come esprimere 1/R in altri termini, che non contengano l'operazione di divisione, ma solo la moltiplicazione».

«Per esempio, 1/R è quel numero che moltiplicato per R dà 1».

«Bene. Quale dei nostri elementi, moltiplicato per R, dà 1?».

«Ah, R3. Quello moltiplicato per RR4, cioè 1».

«Perfetto, quindi 1/R = R3».

«Quindi potrei dire che 1/R= R2?».

«Certo. E quanto sarà 1/R3?».

«Ah, sarà R. Ho capito, tutti gli elementi ammettono un reciproco».

«Manca il reciproco di 1, che comunque è facile da calcolare: è sempre 1».

«Giusto».

«Si dice allora che l'insieme composto da 1, R, R2, R3 è un gruppo. Per essere precisi, un gruppo gode delle seguenti proprietà: è chiuso rispetto all'operazione considerata (che nel nostro caso è la moltiplicazione)».

«Giusto, l'abbiamo visto».

«L'operazione gode della proprietà associativa».

«Mi pare corretto».

«Lo è: le nostre moltiplicazioni sono rotazioni intorno all'origine, e puoi farle nell'ordine che preferisci. Poi deve esistere un elemento neutro per l'operazione».

«C'è, è 1. Moltiplicare per 1 è come non fare niente».

«Infatti. Potremmo anche dire che l'argomento di 1 è zero gradi, e ruotare di zero gradi è come non fare niente».

«Vero anche questo».

«E infine, deve esistere l'inverso di ogni elemento — nel caso della moltiplicazione, l'inverso è il reciproco».

«E abbiamo visto che ogni elemento ha il suo reciproco. Bene, e adesso?».

«Adesso, prima di tutto notiamo che questa proprietà di essere gruppo non vale solo per le radici quarte dell'unità, ma per le radici n-esime, qualunque sia il valore di n».

«Va bene, ma avrò più elementi nel gruppo, no?».

«Certo, il gruppo è formato da 1, R, R2, …, Rn-1».

«Bene. E poi?».

«E poi applichiamo queste cose allo studio della costruibilità dei poligoni regolari».

2 commenti:

Roberto Natalini ha detto...

Ciao Zar, bellissimi dialoghi. Volevo solo segnalarti un misprint. Quando definisci R scrivi che vale +1, invece vale i (come risulta in seguito). Per il resto, ancora complimenti! r

zar ha detto...

Giusto, grazie, ho corretto.