giovedì 31 marzo 2011

Raddoppiamento del periodo

«Perché dici che mi sbaglio?».

«Perché succedono cose strane, se aumentiamo r ancora un pochino. Guarda come cambia la figura quando = 3.2».


«Ma che roba è?».

«Non ci avviciniamo più al punto di intersezione della retta con la parabola».

«Eh, vedo, ma perché?».

«Perché adesso ci sono due posizioni stabili, che si alternano generazione dopo generazione».

«Come un pendolo, ma senza attrito?».

«Sì, ma l'analogia non è del tutto corretta. Un pendolo senza attrito continua ad oscillare mantenendo l'ampiezza iniziale: qua invece qualunque sia il valore iniziale, pian piano esso si sposta verso quella particolare doppia posizione di equilibrio. Ora si dovrebbe capire meglio il motivo per cui viene chiamata attrattore».

«Ah, ecco. Qualsiasi valore iniziale viene attratto verso quel punto».

«Con l'attuale valore di r, sono due punti: e quella che viene chiamata orbita periodica. Te la faccio vedere senza le fasi di avvicinamento:».



«Bella! E che succede se aumentiamo ancora r?».

«Eccoti = 3.5».




«Oh mamma, quattro posizioni?».

«Proprio così. Eccoti l'orbita stabile:».



«Quindi adesso ci sono quattro posizioni che si succedono, nel corso di quattro generazioni?».

«Sì, è un'altra orbita periodica, di periodo doppio rispetto alla precedente».

«E cioè quattro. E se aumentiamo r il periodo aumenta ancora?».

«Sì, raddoppia sempre. Eccoti un periodo 8, con = 3.55».



«Ma è bellissimo. E quando ci si ferma?».

«In che senso?».

«Quando termina questo raddoppio?».

«Mai».

«Ma come? Il valore di r non può crescere per sempre: mi avevi detto che al massimo si arriva a 4».

«Esatto, ma nonostante questo i raddoppiamenti vanno avanti all'infinito. Si susseguono sempre più velocemente».

«E magari si riesce anche a sapere quanto velocemente?».

«Sì: il rapporto tra la lunghezza di un intervallo di periodo 2n e quella di un intervallo di periodo 2n+1 è uguale al valore di una costante universale, detta costante di Feigenbaum, il cui valore è circa 4.6692».

«Mamma mia, voi matematici siete megalomani. Costante universale… Non vi bastava chiamarla costante?».

«Eh, ma il fatto è che è davvero universale. Non vale solo per la nostra parabola: qualsiasi sistema fatto come il nostro, del tipo xn+1 = rf(xn), dove f può essere una funzione con proprietà simili a quelle della parabola (che non sto a specificarti), gode della stessa proprietà».

«Wow».

«Sì, e la scoperta di questo fatto è recente: Feigenbaum se ne è accorto nel 1975. La storia ci racconta che la scoperta è dovuta al fatto che la calcolatrice HP-65 che usava per fare i calcoli era molto lenta, pur essendo una meraviglia per l'epoca. Ed essendo lenta, manteneva i numeri sul display per un tempo sufficiente a notare una certa regolarità».

«E come fai a sapere tutte queste cose?».

«Ho dato la tesi con un prof. che ha lavorato con lui. Pochi giorni prima della mia laurea eravamo a un convegno in cui era presente anche Feigenbaum, e il mio prof. mi presentò, dicendogli che di lì a poco mi sarei laureato. Lui mi diede la mano e mi disse Ah! It's about time!».

«Eh, eh».

«Ma lasciamo perdere gli aneddoti. Hai capito che, dato che i raddoppiamenti di periodo arrivano sempre più velocemente, si arriva all'infinito prima che r diventi uguale a 4?».

«All'infinito? Vuoi dire che ci saranno orbite di periodo sempre più grande?».

«Sì, all'aumentare di r il periodo raddoppia sempre, e si raggiunge il limite quando r è circa 3.569945672».

«E dopo?».

martedì 29 marzo 2011

Risorse limitate

«Ora consideriamo una crescita senza competizione, ma con risorse limitate».

«L'ho già detto eeh?».

«Sì, la volta scorsa… Ma non è un concetto molto complicato: i nostri conigli marziani si riproducono, però a un certo punto non trovano più da mangiare; hanno riempito completamente Marte e adesso stanno un po' stretti».

«Non possono crescere per sempre».

«Eh, no. L'ambiente può contenere al massimo un certo numero di individui. Poniamo questo massimo uguale a 1, utilizzando una unità di misura a nostro piacere».

«Quindi quell'uno può significare un milione, o un miliardo, o quello che vogliamo noi?».

«Sì, non ci interessa quanto. È il massimo possibile, oltre non ci andiamo».

«Ok».

«L'equazione di crescita si modifica un po': se alla generazione n abbiamo xn individui, alla generazione successiva ne abbiamo una certa quantità proporzionale sì a quanti ne avevamo, ma proporzionale anche a quanto siamo lontani dal massimo».

«Uhm, e come sarebbe questa equazione?».

«Se utilizziamo sempre r come costante di proporzionalità, abbiamo:».

xn+1 = rxn(1 - xn).

«Ah, vedo. Hai scritto il prodotto tra xn, che sarebbe la parte proporzionale a quanti individui erano presenti prima, e (1-xn), che mi dice quanto siamo distanti dal massimo».

«Proprio così. E se vogliamo rappresentare su un grafico questa nuova situazione, come abbiamo fatto l'altra volta, dobbiamo usare l'equazione = rx(1-x)».

«Uhm, un'equazione di secondo grado».

«Sì, è una parabola. Nota che interseca l'asse delle x sempre negli stessi punti, di ascissa 0 e 1».

«Ah, giusto. Quello che cambia è il vertice».

«Sì. Per essere precisi, cambia l'ordinata del vertice. La facciamo variare da un minimo di 0, quando = 0, a un massimo di 1, quando = 4».

«Perché proprio = 4?».

«In realtà non ragioniamo su r, ma sul vertice: al massimo deve valere 1 perché quel valore è, secondo le nostre unità di misura, il più grande valore che può assumere la popolazione».

«Ah, ok».

«Facciamo qualche esempio, allora. Prendiamo = 0.5, e iteriamo. Ricordati che ogni volta ci basta riportare il valore che abbiamo trovato sulla bisettrice del primo e terzo quadrante».

«Mi ricordo, in questo modo possiamo ridare in pasto alla nostra macchinetta i risultati della generazione precedente».

«Ecco il grafico».



«Uhm, mi pare che ci sia una estinzione».

«Sì, il tasso di crescita è molto basso. Proviamo ad aumentarlo un po'».

«Mettiamo r = 1?».

«Ok, ecco il grafico:».



«Ancora non ci siamo, muoiono tutti. Sbaglio o la retta è tangente alla parabola?».

«Non sbagli, è proprio così».

«Allora è per quello che si estinguono: se aumentiamo ancora un po' r forse la parabola supera la retta e le cose cambiano».

«Eh, sì, le cose cambiano. Proviamo con r = 1.5; spostiamo anche il punto di partenza, che altrimenti sarebbe troppo vicino al punto di intersezione tra la retta e la parabola».



«Uh, questa volta sono pochi individui, ma crescono».

«Sì, e si stabilizzano verso un valore ben preciso».

«Vedo. E che succede se invece prendiamo una popolazione maggiore?».

«Guarda:».


«Ah, questa volta diminuiscono: erano troppi e qualcuno muore».

«Esatto, ma non si va verso l'estinzione: la popolazione si stabilizza intorno a quel punto di equilibrio, che i Veri Matematici chiamano anche attrattore».

«Proviamo ad aumentare un po' r? Anche se ormai ho capito come funziona».

«Posso dubitare di questa tua ultima affermazione?».

«Perché?».

«Stai a vedere. Mettiamo = 2, per cominciare».


« Bé, non è cambiato niente, le cose stanno come prima».

«Vero, ma porta pazienza. Andiamo a vedere cosa succede con = 2.9».



«Uh?».

«Ti aspettavi una cosa del genere?».

«Veramente no… ma cosa succede? La popolazione aumenta e diminuisce in continuazione?».

«Eh, sì: in una certa generazione ce ne sono pochi, il mondo potrebbe contenerne di più. Allora crescono, ma crescono troppo, e la generazione successiva sono molti, e qualcuno muore. Allora tornano ad essere meno del massimo possibile, e quindi aumentano di nuovo, ma meno. E così via».

«Come una specie di altalena?».

«Esatto, ci sono delle oscillazioni intorno al valore massimo. E sono oscillazioni che si smorzano pian piano, ogni volta l'ampiezza diminuisce».

«Ah, vabbé, alla fine succede sempre la stessa cosa: la popolazione si stabilizza sempre intorno al punto di intersezione tra la parabola e la retta. È anche una cosa ragionevole: il mondo può contenere al massimo un certo numero di individui, e prima o poi ci si arriva».

«È qui che ti sbagli».

lunedì 28 marzo 2011

Crescite e decrescite

«Immaginiamo una popolazione con la possibilità di crescere senza competizione e con risorse illimitate».

«Eeh?».

«Una specie di conigli marziani, che ogni tot si riproducono. Possono riprodursi all'infinito, e nessuno li mangia».

«In breve invadono Marte…».

«Sì, bè, noi astraiamo molto, vogliamo creare un modello per una crescita di questo tipo. Diciamo che non ci sono limiti alla loro attività. E, per semplificare, il modello lo facciamo discreto».

«Discreto?».

«Sì, significa che il tempo scorre a salti. Abbiamo una certa popolazione in un istante, che potremmo indicare con xn, e un'altra popolazione all'istante successivo, che potremmo indicare con xn+1».

«Bene. E come facciamo a fare crescere questi conigli?».

«Diciamo che la popolazione in un certo istante è proporzionale alla popolazione all'istante precedente».

«Ok. E ci sarà quindi una costante di proporzionalità?».

«Sì, la indichiamo con r. E scriviamo la nostra equazione così:».

xn+1 = rxn.

«Va bene, credo di capire. Se r=1 rimane tutto costante, giusto?».

«Sì, se r=1 non nasce e non muore nessuno, la popolazione rimane sempre quella».

«Allora, perché cresca, dovremmo porre la costante r maggiore di 1?».

«Esatto. Immaginiamo, tanto per fissare le idee, che r sia uguale a 2».

«Oh, così crescono in fretta».

«Eh, sì. E noi vogliamo trovare un modo comodo per visualizzare questa crescita».

«Perché?».

«Perché quando le cose si vedono, è meglio. E poi perché così riusciamo a complicarle meglio».

«Capirai».

«Allora, quella relazione che abbiamo scritto tra xn+1 e xn è come una macchinetta con un'entrata e una uscita. Inseriamo un valore, che indichiamo con xn, e la macchinetta ci calcola xn+1. Se poi vogliamo conoscere il successivo, ci basta prendere l'uscita e riportarla all'ingresso».

«Ah, certo, al giro dopo calcolerà xn+2, poi xn+3, e così via».

«Proprio così. Ora vogliamo fare una rappresentazione grafica. Immagina di mettere il valore iniziale della popolazione sull'asse delle x».

«Ok. Se voglio visualizzare la popolazione all'istante successivo, dovrò disegnare in un qualche modo la relazione tra xn e xn+1. Ma non capisco bene come».

«Non è difficile: la nostra macchinetta è semplice, perché prende una x e la moltiplica per r. Potremmo rappresentarla con la formula rx».

«Ah, ma questa è la formula di una retta!».

«Esatto, se noi rappresentiamo sul grafico quella retta…».

«…allora ci basta prendere il nostro valore di x, portarlo in verticale verso la retta, e poi in orizzontale sull'asse delle y. Immagino di poter fissare delle coordinate arbitrarie; ecco, il grafico dovrebbe essere questo:».



«Sì, potremmo fare così, ma perderemmo poi la possibilità di riportare l'uscita all'ingresso della macchinetta».

«Uh, e allora?».

«E allora dobbiamo trovare il modo di riportare la y, così come è stata calcolata, sull'asse delle x. E non è difficile, esiste un sistema per trasformare le y di nuovo in x».

«Quale?».

«Se il nuovo x deve essere uguale al vecchio y, perché non usare semplicemente la funzione = x?».

«Per riflettere le y di nuovo sulle x? Geniale!».

«Ora che abbiamo ottenuto una nuova x, possiamo ripetere il procedimento. Tra l'altro, non c'è nemmeno bisogno di riportare effettivamente la x proprio sull'asse delle x. È sufficiente muoverci in verticale verso la retta = rx e in orizzontale verso la retta = x. Ogni movimento orizzontale ci fornisce una nuova x. Ecco un disegno, il puntino viola è quello di partenza:».



«Bello, si vede una specie di gradinata che sale sempre».

«Certo, ogni volta che il nostro tempo discreto fa un passo avanti, la popolazione raddoppia. Ho messo in evidenza anche i punti sull'asse delle x, ma vedi che non sono necessari».

«Già. E che succederebbe se r fosse minore di 1?».

«Puoi immaginarlo, ma ecco un disegno. Questa volta prendo un punto di partenza un po' più a destra, però».




«Ahia. Questa la chiamerei estinzione».

«Già. O crescono all'infinito, o rimangono costanti, o muoiono tutti. Non ci sono altre possibilità».

«Ok, mi sembra semplice».

«Ottimo. Adesso complichiamo un po'».

martedì 22 marzo 2011

Praticamente pronti per l'esame

Sulla verifica ha scritto quale, ci ha pensato un po', ha cancellato e corretto con cuale.

venerdì 18 marzo 2011

Culture

Commedia in due atti brevissimi.

Personaggi:
PM — un insegnante di matematica
PI — un'insegnante di italiano
KB — uno studente, appartenente a una cultura avente idee poco politicamente corrette nei confronti delle donne

Primo atto

Luogo: interno di una scuola superiore. Suona la campana, le porte delle aule si aprono, qualche studente esce a sgranchirsi le gambe. Da un'aula esce PM, col registro in mano, diretto verso le scale. PI lo chiama, affacciandosi da un'altra aula.

PI: «Ehi, PM! Dove stai andando? Vieni qua!».

PM: «Cosa c'è?».

PI: «Vieni a fare il tuo dovere!». Brusio dall'interno dell'aula, gli studenti sorridono.

PM: «Uffa! Cos'è che non ho fatto?».

PI: «Tizio e Caio sono entrati in ritardo e tu non hai segnato niente sul registro!».

PM (sorridendo): «Bé, fallo tu…».

PI: «Non ci penso neanche. Voi uomini siete sempre scansafatiche: vieni e compila la tua parte».

PM: «Ma dai!».

PI: «Su, su, non servite mai a niente, almeno una firma potete farla».

PM: «Vabbé, fammi vedere 'sto registro, che firmo». Prende una penna in prestito da uno studente sghignazzante e firma. KB osserva la scena perplesso.

PI: «Oh, bene».

PM: «Ecco fatto. Posso andare?».

PI: «Certo». PM saluta, gli studenti che hanno assistito alla scenetta ricambiano sorridenti, poi esce dall'aula. PI sorride, saluta ed esce subito dopo.

Fine primo atto.

Secondo atto.

Luogo: l'aula dalla quale si era affacciata PI nel primo atto.

KB: «Prof! Ma cosa ha fatto ieri?».

PM (con una certa faccia di bronzo): «Ieri? Cosa ho fatto?».

KB: «Ma ha firmato il registro!».

PM: «Bé? Non avevo segnato gli assenti».

KB: «Sì, ma poteva farlo fare alla prof. di italiano!».

PM: «Ma erano entrati nella mia ora, dovevo firmare io…».

KB: «Ma no, prof, ma ha ubbidito agli ordini di PI!».

PM: «Eh, chissà che roba…».

KB: «Ma prof, è una donna!».

PM: «E allora?».

KB: «Io piuttosto mi sarei fatto tagliare la gola».

PM: «Guarda che le donne sono esseri umani»

KB: «…».

giovedì 17 marzo 2011

Il meraviglioso mondo dell'università

Ci sono creature che si sono evolute per vivere nelle barriere coralline, e semplicemente non potrebbero resistere nelle distese aspre e dai denti aguzzi del mare aperto. Continuano la loro esistenza appostate tra i tentacoli pericolosi dell'anemone di mare o attorno alle labbra del bivalve gigante, o in altri pertugi perniciosi evitati dai pesci assennati.

Un'università è molto simile a una barriera corallina. Garantisce acque calme e particelle di cibo per organismi delicati dalla costruzione strabiliante, che non potrebbero mai sopravvivere tra i marosi della realtà, dove la gente fa domande del tipo `Ma quello che fai serve a qualcosa?' e altre sciocchezze.

Terry Pratchett — La scienza di mondo disco. (*)

150

mercoledì 9 marzo 2011

In libreria

Ho inserito qua di fianco un link che porta a una pagina di informazioni, discussioni e correzioni relative al libro Verso l'infinito ma con calma. È una pagina statica, senza commenti. Se ci sono domande, possono essere fatte qua sotto e, se so la risposta (ehm), la aggiungerò di là.

mercoledì 2 marzo 2011