mercoledì 10 settembre 2008

Verso l'infinito, ma con calma - numeri transfiniti

Torniamo a parlare di cardinalità, ma questa volta di insiemi un pochino più grossi.

Così come esiste la classe di equivalenza che contiene i soliti {a,b,c} e {Pippo, Pluto, Paperino}, e che raggruppa tutti gli insiemi che hanno cardinalità uguale a 3, esisterà anche una classe che contiene l'insieme dei numeri naturali.

Il fatto è che l'insieme dei numeri naturali non contiene un numero finito di elementi, e quindi il numero cardinale corrispondente non sarà un numero normale (qualunque cosa ciò significhi, tanto i Veri Matematici sanno bene che non esistono numeri normali).

Bene, Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor non si spaventò di fronte alla grandezza dell'insieme dei numeri naturali, e sviluppò una teoria dedicata proprio ai numeri grossi.

“Ma non li avrà chiamati grossi, spero?”.

“No, certo. Si narra un aneddoto, forse leggendario, a riguardo. Cantor non voleva utilizzare il termine infinito, che per lui aveva anche una connotazione religiosa. Chiese consiglio a un cardinale, il quale lo tranquillizzò, ma gli consigliò comunque di utilizzare un termine equivalente. Cantor, allora, scelse il termine transfinito”.

“Quindi ora parliamo di numeri cardinali transfiniti?”.

“Proprio così”.

“Sembra bello. Ma il fatto che si chiamino cardinali ha qualcosa a che fare col cardinale di Cantor?”.

“Probabilmente no, ma chissà? Comunque, nel numero 62 della rivista Rudi Mathematici è celebrato il compleanno di Cantor, ti consiglio di leggerlo”.

“Uh, va bene. Mi sembra un po' lungo, però”.

“Lungo, impegnativo, ma interessante. Anzi, per permetterti di leggerlo, non andrò avanti oggi a parlare di cardinali”.

“Ok, lo farò. Ma, stavo pensando, questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato proprio dai Rudi Mathematici. Il fatto che ora tu li citi e che, poi, loro citeranno te, mi ricorda uno di quei paradossi di cui hai parlato poco tempo fa”.

“Fai finta di niente, e speriamo che nessuno clicchi due volte”.

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